小学学到的运算律是交换律、结合律、分配律。

它们非常重要，从现在开始，它们就要频繁使用在计算里了。

所以，孩子们必须理解透彻。

好，我们先说交换律。

一、交换律

说交换律之前，我们要先说[相等]。

等号，在数学中到底有什么样的意义呢？

孩子们会遇到比大小的题目。

比如说4+7与9+2谁大？

这里是要填“＝”的。

那么相等意味着计算的结果相同吗？

4+7=11，9+2也等于11。

11与11相同，所以是相等的——这是我们普通意义上的理解。

其实，还有更深一层的意思。

一个数与另外一个数相等，就意味着它们在数轴上的点是重合的。

明白了这点，我们才好往下证明交换律。

现在:

1+5+6=12

6+1+5=12

我们把数字交换了位置，计算的结果是相同的。

我们就可以说加法有交换律吗？

不，这是先验的经验，不叫数学证明。

我们要假设任意数，a.b.c都符合。

看下面的数轴演示。

无论是a+b+c，还是a+c+b，交换位置后，最终在数轴上重合了（这里我们不能说相等了，因为没有明显的像11一样的表象相同）。

如此，我们才说加法符合交换律。

我们设的是ABC是任意数。

小学课本上ABC是自然数。

小学的数系只到自然数、分数、小数，基本上在正数的范畴内运算。

我们都知道还有负数，无理数、超越数……

那么，交换律对于这些数也是成立的。

拿负数举例子。

看下面的数轴演示。

无论我先加哪个数，最后的结果在数轴上都是重合的。

其实减法，加减混合，除法也是符合交换律的（最直观的你可以弄几个数试一试）。

只是我们不这样说。

到初中数系扩展之后，我们把前面带减号的都称为负数，负数之间的运算本质上也是加法运算。

一个定理的表达要简洁、覆盖更多的范围。

如果单说加法交换律，就能够把很多事情统一起来的话，我们就不需要引入其他的概念了。

说的太多，小学生是非常容易迷糊的。

到中学数系扩展之后会，会给学生们演示：

负数也符合交换律、

代数式也符合交换律、

无理数也符合交换律……

甚至到高中后：

虚数也符合交换律，

向量也符合交换律。

结合律、分配律都是如此。

只要是在有限的范围内，都适用。（无无限数列不适用）

到这里总结一下：

好，下面我们说乘法交换律。

乘法交换律很好说。

因为乘法就是加法——乘法是重复的加。

既然是重复的加，无非就是多加几次，本质上是一样的。

所以，乘法交换律不需要特别证明。

如果想给孩子讲的话，可画一个长方形。

它的边长是6和3。

用长乘以宽和用宽乘以长，它的面积还是这个面积。

这样很简洁。

或者，你就在数轴上演示3个6和6个3（a个b与b个a），最后是重合的。

二、结合律

加法和乘法都有结合律。

a+b+c=a+（b+c）

也就是说给b和c加一个括号，整体算式的优先级变了。

先计算b+c。

没有关系，在数轴上演示一下。

优先级换了后，其实就是计算顺序变了。

顺序变了，跟加法交换律换一换位值没有太大区别（说法上的不同）。

然而，在实际应用上造成的结果却很不一样。

68+53+47=168

68+（53+47）=168

计算简便程度不同。

乘法加上括号后，也是改变了优先级。

比如a×b×c与a×（b×c），从先算a×b换成了先算b×c。

那么a个b与b个c，先算哪个，在数轴上的结果都是重合。不再演示。

区别还是计算的简便度。

另外，我们用长方体演示一下（方便你给孩子讲解）。

一个长方体的体积是长×宽×高。

那我们翻转一下长方体，宽和高就变成了长和宽，长就变成了高——结合律的体现。

这一种方式比较适合给孩子说，但不是严格的结合律证明。

另外，减法和除法有结合律吗？

通常123-64-36，我们可以写成123-（64+36）使计算简便，但我们不说这是减法的结合律。

有的人叫它减法的性质，同理还有除法的性质。

比如600÷2÷5，可以写成600÷（2×5）。

换成实际的例子是：

我们可以算一共摘了几个，再用总数去减——123-（64+36），也可以一个一个减——123-64-36。

仔细揣摩一下，这也是结合律的体现，前面我们说过，所有运算本质上都是加法。

只是太麻烦了，我们不这样说。

这一点我们知道就行，在今后的运算中，会悟出来的。

小结一下：

三、分配律

加法为什么没有分配律了？只有乘法有？

看下面这个图，求长方形的面积。

上图演绎了分配律。

它在加法里，不这样表达——每个小正方形的面积是1，用加法就是反复加。

所以，只有乘法，才有这样的表达。

分配律是乘法基于加法的延伸。

用长方形、正方形演示都可以。

还可以用乘法的本质来说明。

25×（4＋8）=25×4＋25×8

这里一共有12个25相加，我们可以4个25加上8个25.

按照这样的方式理解，分配律反过来正过来你都能用。

而且25×（15-7）你也知道如何分配。

15个25，减去7个25.

这就是学习为什么要抓住底层原理——

能帮你触达更多。

还有，除法有分配律吗？

有。

（600-400）÷2=（600-400）×½——可用乘法分配律。

（600＋400）÷2=（600＋400）×½——可用乘法分配律。

不过，还是那句话，中间还需要倒腾一步，不难为孩子们。

孩子们只需要记住加法、乘法交换律、结合律，乘法分配律。

将来的，将来再说。

小结一下：

四、目的

到这里，我们来说一下，使用运算律的目的是什么。

为了简便。

小学现在叫简便运算，我们使用的北师大版本，内容量不大，但是使用运算律，主要演练场景和计算诉求还是【简便】。

在这一点人教版的重视程度更高一些。

到初中、高中要使用代数式推理演绎。

那么长的代数式你如何理顺它、让它显现出【端倪】、方便你解题或者方便你解决实际问题？

使用运算律。

到时候不止有基础运算律，还有跟其他公式的配合使用。

所以，本质上就是为了方便，这一点跟孩子讲清楚。

好，这就是今天的分享了。

有不成熟的地方，欢迎留言指正。

谢谢阅读，本文结束。