小学学到的运算律是交换律、结合律、分配律。
它们非常重要，从现在开始，它们就要频繁使用在计算里了。
所以，孩子们必须理解透彻。
好，我们先说交换律。
一、交换律
说交换律之前，我们要先说[相等]。
等号，在数学中到底有什么样的意义呢？
孩子们会遇到比大小的题目。
比如说4+7与9+2谁大？
这里是要填“＝”的。
那么相等意味着计算的结果相同吗？
4+7=11，9+2也等于11。
11与11相同，所以是相等的——这是我们普通意义上的理解。
其实，还有更深一层的意思。
一个数与另外一个数相等，就意味着它们在数轴上的点是重合的。
明白了这点，我们才好往下证明交换律。
现在:
1+5+6=12
6+1+5=12
我们把数字交换了位置，计算的结果是相同的。
我们就可以说加法有交换律吗？
不，这是先验的经验，不叫数学证明。
我们要假设任意数，a.b.c都符合。
看下面的数轴演示。
无论是a+b+c，还是a+c+b，交换位置后，最终在数轴上重合了（这里我们不能说相等了，因为没有明显的像11一样的表象相同）。
如此，我们才说加法符合交换律。
我们设的是ABC是任意数。
小学课本上ABC是自然数。
小学的数系只到自然数、分数、小数，基本上在正数的范畴内运算。
我们都知道还有负数，无理数、超越数……
那么，交换律对于这些数也是成立的。
拿负数举例子。
看下面的数轴演示。
无论我先加哪个数，最后的结果在数轴上都是重合的。
其实减法，加减混合，除法也是符合交换律的（最直观的你可以弄几个数试一试）。
只是我们不这样说。
到初中数系扩展之后，我们把前面带减号的都称为负数，负数之间的运算本质上也是加法运算。
一个定理的表达要简洁、覆盖更多的范围。
如果单说加法交换律，就能够把很多事情统一起来的话，我们就不需要引入其他的概念了。
说的太多，小学生是非常容易迷糊的。
到中学数系扩展之后会，会给学生们演示：
负数也符合交换律、
代数式也符合交换律、
无理数也符合交换律……
甚至到高中后：
虚数也符合交换律，
向量也符合交换律。
结合律、分配律都是如此。
只要是在有限的范围内，都适用。（无无限数列不适用）
到这里总结一下：
好，下面我们说乘法交换律。
乘法交换律很好说。
因为乘法就是加法——乘法是重复的加。
既然是重复的加，无非就是多加几次，本质上是一样的。
所以，乘法交换律不需要特别证明。
如果想给孩子讲的话，可画一个长方形。
它的边长是6和3。
用长乘以宽和用宽乘以长，它的面积还是这个面积。
这样很简洁。
或者，你就在数轴上演示3个6和6个3（a个b与b个a），最后是重合的。
二、结合律
加法和乘法都有结合律。
a+b+c=a+（b+c）
也就是说给b和c加一个括号，整体算式的优先级变了。
先计算b+c。
没有关系，在数轴上演示一下。
优先级换了后，其实就是计算顺序变了。
顺序变了，跟加法交换律换一换位值没有太大区别（说法上的不同）。
然而，在实际应用上造成的结果却很不一样。
68+53+47=168
68+（53+47）=168
计算简便程度不同。
乘法加上括号后，也是改变了优先级。
比如a×b×c与a×（b×c），从先算a×b换成了先算b×c。
那么a个b与b个c，先算哪个，在数轴上的结果都是重合。不再演示。
区别还是计算的简便度。
另外，我们用长方体演示一下（方便你给孩子讲解）。
一个长方体的体积是长×宽×高。
那我们翻转一下长方体，宽和高就变成了长和宽，长就变成了高——结合律的体现。
这一种方式比较适合给孩子说，但不是严格的结合律证明。
另外，减法和除法有结合律吗？
通常123-64-36，我们可以写成123-（64+36）使计算简便，但我们不说这是减法的结合律。
有的人叫它减法的性质，同理还有除法的性质。
比如600÷2÷5，可以写成600÷（2×5）。
换成实际的例子是：
我们可以算一共摘了几个，再用总数去减——123-（64+36），也可以一个一个减——123-64-36。
仔细揣摩一下，这也是结合律的体现，前面我们说过，所有运算本质上都是加法。
只是太麻烦了，我们不这样说。
这一点我们知道就行，在今后的运算中，会悟出来的。
小结一下：
三、分配律
加法为什么没有分配律了？只有乘法有？
看下面这个图，求长方形的面积。
上图演绎了分配律。
它在加法里，不这样表达——每个小正方形的面积是1，用加法就是反复加。
所以，只有乘法，才有这样的表达。
分配律是乘法基于加法的延伸。
用长方形、正方形演示都可以。
还可以用乘法的本质来说明。
25×（4＋8）=25×4＋25×8
这里一共有12个25相加，我们可以4个25加上8个25.
按照这样的方式理解，分配律反过来正过来你都能用。
而且25×（15-7）你也知道如何分配。
15个25，减去7个25.
这就是学习为什么要抓住底层原理——
能帮你触达更多。
还有，除法有分配律吗？
有。
（600-400）÷2=（600-400）×½——可用乘法分配律。
（600＋400）÷2=（600＋400）×½——可用乘法分配律。
不过，还是那句话，中间还需要倒腾一步，不难为孩子们。
孩子们只需要记住加法、乘法交换律、结合律，乘法分配律。
将来的，将来再说。
小结一下：
四、目的
到这里，我们来说一下，使用运算律的目的是什么。
为了简便。
小学现在叫简便运算，我们使用的北师大版本，内容量不大，但是使用运算律，主要演练场景和计算诉求还是【简便】。
在这一点人教版的重视程度更高一些。
到初中、高中要使用代数式推理演绎。
那么长的代数式你如何理顺它、让它显现出【端倪】、方便你解题或者方便你解决实际问题？
使用运算律。
到时候不止有基础运算律，还有跟其他公式的配合使用。
所以，本质上就是为了方便，这一点跟孩子讲清楚。
好，这就是今天的分享了。
有不成熟的地方，欢迎留言指正。
谢谢阅读，本文结束。